Matematika Tanuljunk

A Möbius-szalag rejtélye

A Möbius-szalag kétdimenziós felület, amelynek különlegessége, hogy csak egyetlen oldala és egyetlen éle van.

Möbius-szalag készítési módjai

A szalagot könnyen elkészíthetjük egy papírcsíkból, ha végeit összeragasztjuk úgy, hogy az egyiket 180°-kal elfordítjuk. Az egyoldalúságról úgy győződhetünk meg, ha egy ceruzával hosszirányban a közepén csíkot húzunk: így vissza kell jutnunk oda, ahonnan elindultunk, bejárva az eredeti szalag mindkét oldalát.

További érdekesség, hogy ha kettévágjuk az imént említett vonal mentén, egy, az eredeti szalagnál kétszer hosszabb (fele olyan széles), immár kétoldalú felületet kapunk. Ha még egyszer hasonló módon körbevágjuk, akkor két egymásba fonódó szalag lesz az eredmény. Ha három részre vágjuk, akkor két egymásba fonódó szalagot kapunk: az egyik ismét egy Möbius-szalag lesz, a másik egy kétszer olyan hosszú, kétszer csavart szalag.

A hasonlóan páratlan számszor csavart szalagok darabolása hasonló érdekes eredményt ad. Például a háromszor 180 fokosan csavarodó szalag kettévágásával lóherecsomót kapunk. A végeredményként kapott csavarodások száma kiszámítható a következő egyenletből: 2N + 2 = M, ahol N a csavarodások eredeti száma, és M a csavarodások kapott száma. A Möbius-szalaghoz hasonlóan a páratlan számszor csavart szalagoknak egy élük és egy oldaluk van. A páros számszor csavartak ellenben két oldalúak és két élűek.

A számítógépes grafikában így is lehet Möbius-szalagot konstruálni:

    • Végy egy téglalap alakú szalagot
    • Forgasd meg egy olyan pont körül, ami nincs vele egy síkban
    • Minden egyes lépésben forgasd meg a körül a vele egysíkú egyenes körül, ami kettévágja a szalagot, és merőleges az alapkör sugarára
    • Ha így megtettél egy teljes fordulatot, akkor a téglalap egy Möbius-szalagot súrolt végig.

(És a konyhában is 😉 előállítható:)

Ki volt Möbius?

230 évvel ezelőtt látta meg a napvilágot August Ferdinand Möbius (Németország, Szászország, Schulpforta, 1790. november 17. – Lipcse, 1868. szeptember 26.) német matematikus és csillagász.

Kezdetben otthon tanult, és házitanítója, Friedrich Wilhelm Thiersch a kiegyensúlyozott oktatás érdekében igyekezett meggátolni tanítványa egyoldalú matematikai érdeklődésének kifejlődését. Később azonban az iskolában Johann Gottlieb Schmidt izgalmas matematikaoktatásban részesítette. 1809-től a Lipcsei Egyetemen tanult, először egy fél évig jogot, azután azonban matematikát, fizikát és csillagászatot. A csillagászat professzora, Carl Brandan Mollweide segédjeként foglalkoztatta. 1813–14-ben ösztöndíjasként egy fél évig Göttingenben tanult Carl Friedrich Gaussnál.

Mivel megélhetéséről magának kellett gondoskodnia, Halléban vállalt matematika–fizika tanári állást. Ezzel párhuzamosan matematikai ismereteit Johann Friedrich Pfaffnál bővítette. 1815-ben Lipcsében habilitált a trigonometriai egyenletek analitikus tárgyalásáról szóló munkájával. 1816-ban pleissenburgi csillagvizsgálóban kapott állást, ugyanakkor a lipcsei egyetemen a csillagászat rendkívüli tanárává nevezték ki. Elutasította a Greifswaldban (1816) illetve Dorpatban (1819) felajánlott állást, megelégedett azzal, hogy 1820-ban a csillagvizsgáló igazgatója lett. 1825-ben a lipcsei egyetemen a matematika professzorává nevezték ki. 1844-ben a jénai egyetemen az elméleti mechanika és csillagászat tanára lett.

Noha hivatásszerűen inkább csillagászattal foglalkozott, ismertségét egyik felfedezése révén, a róla elnevezett Möbius-szalaggal szerezte. A Möbius-szalag egy nem irányítható, kétdimenziós felület (aminek mindössze egyetlen oldala van) az euklideszi térbe ágyazva. Hasonló felfedezést tett Johann Benedict Listing is körülbelül Möbiusszal egy időben.

Möbius vezette be a homogén koordinátákat a projektív geometria eszköztárába. A projektív geometriában fontos szerepet betöltő Möbius-transzformációk nem tévesztendők össze a számelméletben használatos, szintén Möbius-transzformációnak nevezett művelettel. A számelméletben elért eredményeinek szép bizonyítéka a róla elnevezett Möbius-függvény és a Möbius inverziós formula.

Möbius-zene Bach tollából

Douglas R. Hofstadter utólag egy Bach-művet is kapcsolatba hoz a Möbius-szalaggal.

1747-ben Bach találkozott a porosz Nagy Frigyessel. . Két hónappal a királlyal való találkozás után elkészült a Musikalisches Opfer.

A király által adott témát (Thema regnum) dolgozta fel Bach a “rák kánon”-ban, amely akár egy Möbius-szalagra is felrajzolható. A kánon témája egyszerre hangzik el úgy, hogy az egyik szólam az elejéről, a másik pedig a végéről kezdi a témát. Ha Möbius-szalagra írjuk a kottát, akkor mindig a szalag “két oldalán” lévő hangjegyek szólnak egyszerre. Ezt szemlélteti a video:

 

Hozzászólás

Ez az oldal az Akismet szolgáltatást használja a spam csökkentésére. Ismerje meg a hozzászólás adatainak feldolgozását .

%d bloggers like this: